二元一次方程组解法步骤与专项练习题

二元一次方程组解法概述

二元一次方程组是初一数学的重要内容，也是后续学习三元一次方程组、二次函数等知识的基础。解二元一次方程组的核心思想是“消元”，即将二元转化为一元，化未知为已知。主要有两种方法：代入消元法和加减消元法。下面我们通过系统的专项练习来掌握这两种方法。

一、代入消元法

代入消元法是最基本的解方程组方法。其步骤如下：

1. 将其中一个方程变形为“x = …”或“y = …”的形式（即用含一个未知数的式子表示另一个）；
2. 将这个式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程；
3. 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
4. 将求出的值回代，求出另一个未知数的值；
5. 书写方程组的解（通常写作{x = …, y = …}的形式）。

第1题：解方程组 $\begin{cases} x + y = 12 \\ 2x - y = 3 \end{cases}$

解题步骤：

1. 由第一个方程 $x + y = 12$，得 $y = 12 - x$。
2. 将 $y = 12 - x$ 代入第二个方程 $2x - y = 3$：$2x - (12 - x) = 3$。
3. 去括号：$2x - 12 + x = 3$，合并同类项：$3x - 12 = 3$，移项：$3x = 15$，解得 $x = 5$。
4. 将 $x = 5$ 回代 $y = 12 - x$：$y = 12 - 5 = 7$。
5. 方程组的解为 $\begin{cases} x = 5 \\ y = 7 \end{cases}$。

答案：$x = 5$, $y = 7$。

第2题：解方程组 $\begin{cases} 3x + 2y = 13 \\ x - y = 1 \end{cases}$

解题步骤：

1. 由第二个方程 $x - y = 1$，得 $x = y + 1$。
2. 将 $x = y + 1$ 代入第一个方程 $3x + 2y = 13$：$3(y + 1) + 2y = 13$。
3. 去括号：$3y + 3 + 2y = 13$，合并同类项：$5y + 3 = 13$，移项：$5y = 10$，解得 $y = 2$。
4. 将 $y = 2$ 回代 $x = y + 1$：$x = 2 + 1 = 3$。
5. 方程组的解为 $\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}$。

答案：$x = 3$, $y = 2$。

第3题：解方程组 $\begin{cases} 4x + 3y = 10 \\ x = 2y - 3 \end{cases}$

解题步骤：

1. 第二个方程已经给出 $x = 2y - 3$，直接代入第一个方程 $4x + 3y = 10$：$4(2y - 3) + 3y = 10$。
2. 去括号：$8y - 12 + 3y = 10$，合并：$11y - 12 = 10$，移项：$11y = 22$，解得 $y = 2$。
3. 将 $y = 2$ 回代 $x = 2y - 3$：$x = 2 \times 2 - 3 = 4 - 3 = 1$。
4. 方程组的解为 $\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$。

答案：$x = 1$, $y = 2$。

二、加减消元法

加减消元法适用于系数不成倍数关系的方程组。其步骤如下：

1. 将方程乘以适当的倍数，使同一未知数的系数变为相同或相反；
2. 将两个方程相加或相减，消去一个未知数；
3. 解得到的一元一次方程，求出一个未知数的值；
4. 将求出的值回代原方程，求出另一个未知数的值。

第4题：解方程组 $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x - 3y = 6 \end{cases}$

解题步骤：

1. 观察发现两个方程中 $y$ 的系数分别为 $+3$ 和 $-3$，为相反数。
2. 将两个方程相加：$(2x + 3y) + (4x - 3y) = 12 + 6$，即 $6x = 18$。
3. 解得 $x = 3$。
4. 将 $x = 3$ 代入第一个方程 $2x + 3y = 12$：$2 \times 3 + 3y = 12$，$6 + 3y = 12$，$3y = 6$，解得 $y = 2$。
5. 验证：将 $x = 3$, $y = 2$ 代入第二个方程 $4x - 3y = 4 \times 3 - 3 \times 2 = 12 - 6 = 6$，符合。
6. 方程组的解为 $\begin{cases} x = 3 \\ y = 2 \end{cases}$。

答案：$x = 3$, $y = 2$。

第5题：解方程组 $\begin{cases} 3x + 2y = 14 \\ 5x - 2y = 10 \end{cases}$

解题步骤：

1. $y$ 的系数分别为 $+2$ 和 $-2$，为相反数。将两方程相加：$(3x + 2y) + (5x - 2y) = 14 + 10$。
2. $2y$ 与 $-2y$ 抵消，得 $8x = 24$，解得 $x = 3$。
3. 将 $x = 3$ 代入第一个方程 $3x + 2y = 14$：$3 \times 3 + 2y = 14$，$9 + 2y = 14$，$2y = 5$，解得 $y = 2.5$ $或$ $y = \frac{5}{2}$。
4. 方程组的解为 $\begin{cases} x = 3 \\ y = \frac{5}{2} \end{cases}$。

答案：$x = 3$, $y = \frac{5}{2}$。

第6题：解方程组 $\begin{cases} 4x + 5y = 23 \\ 3x - 2y = 0 \end{cases}$

解题步骤：

1. 系数既不相同也不相反，需要先变换。将第一个方程 $\times 2$：$8x + 10y = 46$；将第二个方程 $\times 5$：$15x - 10y = 0$。
2. 现在 $y$ 的系数分别为 $+10$ 和 $-10$，为相反数。将两式相加：$(8x + 10y) + (15x - 10y) = 46 + 0$，得 $23x = 46$。
3. 解得 $x = 2$。
4. 将 $x = 2$ 代入第二个方程 $3x - 2y = 0$：$3 \times 2 - 2y = 0$，$6 - 2y = 0$，$2y = 6$，解得 $y = 3$。
5. 方程组的解为 $\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases}$。

答案：$x = 2$, $y = 3$。

三、含参数方程组

含参数方程组是指方程中含有字母参数的方程组。解答这类问题时，通常先解出其中的一个方程组，再利用解的相等关系确定参数的值。

第7题：已知方程组 $\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 2x - y = 0 \end{cases}$ 与 $\begin{cases} ax + by = 8 \\ bx + ay = 7 \end{cases}$ 有相同的解，求 $a$ 、$b$ 的值。

解题步骤：

1. 先解第一个方程组 $\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 2x - y = 0 \end{cases}$。
2. 由第二个方程 $2x - y = 0$ 得 $y = 2x$。
3. 代入第一个方程 $3x + 2y = 7$：$3x + 2(2x) = 7$，$3x + 4x = 7$，$7x = 7$，解得 $x = 1$。
4. $y = 2x = 2 \times 1 = 2$。即解为 $\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \end{cases}$。
5. 将 $x = 1$, $y = 2$ 代入第二个方程组 $\begin{cases} ax + by = 8 \\ bx + ay = 7 \end{cases}$：$\begin{cases} a \cdot 1 + b \cdot 2 = 8 \\ b \cdot 1 + a \cdot 2 = 7 \end{cases}$，即 $\begin{cases} a + 2b = 8 \cdots\text{①} \\ 2a + b = 7 \cdots\text{②} \end{cases}$。
6. 由①得 $a = 8 - 2b$，代入②：$2(8 - 2b) + b = 7$，$16 - 4b + b = 7$，$16 - 3b = 7$，$3b = 9$，解得 $b = 3$。
7. $a = 8 - 2 \times 3 = 8 - 6 = 2$。
8. 故 $a = 2$, $b = 3$。

答案：$a = 2$, $b = 3$。

第8题：已知方程组 $\begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - y = 8 \end{cases}$ 的解也是方程 $3x + ay = 12$ 的解，求 $a$ 的值。

解题步骤：

1. 先解方程组 $\begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - y = 8 \end{cases}$。
2. 两方程相加：$(x + y) + (2x - y) = 7 + 8$，$3x = 15$，解得 $x = 5$。
3. 代入 $x + y = 7$：$5 + y = 7$，解得 $y = 2$。
4. 方程组的解为 $\begin{cases} x = 5 \\ y = 2 \end{cases}$。
5. 将 $x = 5$, $y = 2$ 代入方程 $3x + ay = 12$：$3 \times 5 + a \times 2 = 12$，$15 + 2a = 12$，$2a = -3$，解得 $a = -\frac{3}{2}$。

答案：$a = -\frac{3}{2}$。

第9题：已知 $\begin{cases} x = 2 \\ y = 3 \end{cases}$ 是方程组 $\begin{cases} ax + by = 13 \\ bx + ay = 12 \end{cases}$ 的解，求 $a^2 + b^2$ 的值。

解题步骤：

1. 将 $x = 2$, $y = 3$ 代入方程组：$\begin{cases} 2a + 3b = 13 \cdots\text{①} \\ 3a + 2b = 12 \cdots\text{②} \end{cases}$。
2. 用加减消元法。① $\times 2$：$4a + 6b = 26$；② $\times 3$：$9a + 6b = 36$。
3. 两式相减：$(9a + 6b) - (4a + 6b) = 36 - 26$，$5a = 10$，解得 $a = 2$。
4. 将 $a = 2$ 代入①：$2 \times 2 + 3b = 13$，$4 + 3b = 13$，$3b = 9$，解得 $b = 3$。
5. $a^2 + b^2 = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$。

答案：$a^2 + b^2 = 13$。

四、实际应用题

列二元一次方程组解应用题是初一数学的重要内容。解答步骤：①审题找出未知数和等量关系；②访未知数；③根据等量关系列方程组；④解方程组；⑤验证并答。

第10题：一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是11。如果把十位与个位上的数字对调，得到的新数比原数大9。求这个两位数。

解题步骤：

1. 设十位数字为 $x$，个位数字为 $y$，则原数为 $10x + y$，新数为 $10y + x$。
2. 根据“数字之和为11”得方程：$x + y = 11$。
3. 根据“新数比原数大9”得方程：$(10y + x) - (10x + y) = 9$。
4. 简化：$10y + x - 10x - y = 9$，$9y - 9x = 9$，两边同除9得 $y - x = 1$。
5. 列方程组 $\begin{cases} x + y = 11 \\ y - x = 1 \end{cases}$。两方程相加：$2y = 12$，解得 $y = 6$。
6. 将 $y = 6$ 代入 $x + y = 11$ 得 $x + 6 = 11$，$x = 5$。
7. 所以原数为 $10 \times 5 + 6 = 56$。

答案：这个两位数是56。

第11题：甲、乙两人从相距36千米的两地同时出发，相向而行，2小时后相遇。如果甲比乙先出发40分钟，那么乙出发1小时30分钟后两人相遇。求甲、乙两人的速度。

解题步骤：

1. 设甲的速度为 $x$ km/h，乙的速度为 $y$ km/h。
2. 由第一种情况：两人2小时相遇，则 $2x + 2y = 36$，即 $x + y = 18$ …①
3. 由第二种情况：甲先走 40 分钟 = $\frac{2}{3}$ 小时，然后乙出发，再过 1.5 小时相遇。则甲总共走了 $\frac{2}{3} + \frac{3}{2} = \frac{13}{6}$ 小时，乙走了 $\frac{3}{2}$ 小时。
4. 列方程：$\frac{13}{6}x + \frac{3}{2}y = 36$。两边同乘6得：$13x + 9y = 216$ …②
5. 由①得 $y = 18 - x$，代入②：$13x + 9(18 - x) = 216$，$13x + 162 - 9x = 216$，$4x = 54$，解得 $x = 13.5$。
6. $y = 18 - 13.5 = 4.5$。
7. 验证：第一种：$2 \times 13.5 + 2 \times 4.5 = 27 + 9 = 36$✓；第二种：$\frac{13}{6} \times 13.5 + \frac{3}{2} \times 4.5 = 29.25 + 6.75 = 36$✓

答案：甲速度 $13.5$ km/h，乙速度 $4.5$ km/h。

第12题：某工厂有工人400人，已知每人每天可加工甲种零件6个或乙种零件8个。一个甲种零件和两个乙种零件配成一套。要使每天加工的零件正好配套，应安排多少人加工甲种零件，多少人加工乙种零件？

解题步骤：

1. 设安排 $x$ 人加工甲种零件，$y$ 人加工乙种零件。
2. 总人数条件：$x + y = 400$ …①
3. 甲种零件总数为 $6x$，乙种零件总数为 $8y$。配套关系：$6x : 8y = 1 : 2$，即 $2 \times 6x = 1 \times 8y$，$12x = 8y$，简化得 $3x = 2y$ …②
4. 由②得 $y = \frac{3}{2}x$，代入①：$x + \frac{3}{2}x = 400$，$\frac{5}{2}x = 400$，$x = 400 \times \frac{2}{5} = 160$。
5. $y = 400 - 160 = 240$。
6. 验证：甲零件 $6 \times 160 = 960$个，乙零件 $8 \times 240 = 1920$个，$960:1920 = 1:2$ ✓

答案：安排160人加工甲种零件，240人加工乙种零件。

五、综合练习

综合练习包含含分母、小数等复杂形式的方程组，以及带杁件的综合题。解答时要注意先化简，再选择合适的消元方法。

第13题：解方程组 $\begin{cases} \dfrac{x+y}{4} + \dfrac{x-y}{3} = 5 \\ \dfrac{x+y}{3} - \dfrac{x-y}{2} = 1 \end{cases}$

解题步骤：

1. 两边同时去分母。第一个方程 $\times 12$：$3(x+y) + 4(x-y) = 60$。
2. 去括号：$3x + 3y + 4x - 4y = 60$，合并：$7x - y = 60$ …①
3. 第二个方程 $\times 6$：$2(x+y) - 3(x-y) = 6$。
4. 去括号：$2x + 2y - 3x + 3y = 6$，合并：$-x + 5y = 6$，即 $x = 5y - 6$ …②
5. 将②代入①：$7(5y - 6) - y = 60$，$35y - 42 - y = 60$，$34y = 102$，解得 $y = 3$。
6. 将 $y = 3$ 代入②：$x = 5 \times 3 - 6 = 15 - 6 = 9$。
7. 方程组的解为 $\begin{cases} x = 9 \\ y = 3 \end{cases}$。

答案：$x = 9$, $y = 3$。

第14题：已知方程组 $\begin{cases} 2x + 3y = a \\ 3x + 2y = a + 5 \end{cases}$ 的解满足 $x + y = 5$，求 $a$ 的值及方程组的解。

解题步骤：

1. 将方程组中的两个方程相减：$(3x + 2y) - (2x + 3y) = (a + 5) - a$，得 $x - y = 5$ …①
2. 已知 $x + y = 5$ …②
3. ① $+$ ②：$(x - y) + (x + y) = 5 + 5$，$2x = 10$，解得 $x = 5$。
4. ② $-$ ①：$(x + y) - (x - y) = 5 - 5$，$2y = 0$，解得 $y = 0$。
5. 将 $x = 5$, $y = 0$ 代入第一个方程 $2x + 3y = a$：$a = 2 \times 5 + 3 \times 0 = 10$。
6. 方程组的解为 $\begin{cases} x = 5 \\ y = 0 \end{cases}$，$a = 10$。

答案：$a = 10$, $\begin{cases} x = 5 \\ y = 0 \end{cases}$。

第15题：解方程组 $\begin{cases} \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{3}y = 1 \\ \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{4}y = 2 \end{cases}$

解题步骤：

1. 第一个方程 $\times 6$：$3x - 2y = 6$ …①
2. 第二个方程 $\times 12$：$4x + 3y = 24$ …②
3. 用加减消元法。① $\times 3$：$9x - 6y = 18$ …③
4. ② $\times 2$：$8x + 6y = 48$ …④
5. ③ $+$ ④：$(9x - 6y) + (8x + 6y) = 18 + 48$，$17x = 66$，解得 $x = \dfrac{66}{17}$。
6. 将 $x = \dfrac{66}{17}$ 代入①：$3 \times \dfrac{66}{17} - 2y = 6$，$\dfrac{198}{17} - 2y = 6$，$2y = \dfrac{198}{17} - 6 = \dfrac{198 - 102}{17} = \dfrac{96}{17}$，解得 $y = \dfrac{48}{17}$。
7. 方程组的解为 $\begin{cases} x = \dfrac{66}{17} \\ y = \dfrac{48}{17} \end{cases}$。

答案：$x = \dfrac{66}{17}$, $y = \dfrac{48}{17}$。